電阻 - 電容（RC）低通濾波器是什么以及在何處使用它們能讓你更好的掌握高端的電路設(shè)計(jì)實(shí)戰(zhàn)。本文將介紹了濾波的概念，并詳細(xì)說明了電阻 - 電容（RC）低通濾波器的用途和特性。
時(shí)域和頻域
當(dāng)您在示波器上查看電信號(hào)時(shí)，您會(huì)看到一條線，表示電壓隨時(shí)間的變化。在任何特定時(shí)刻，信號(hào)只有一個(gè)電壓值。您在示波器上看到的是信號(hào)的時(shí)域表示。
典型的示波器跟蹤顯示非常直觀，但也有一定的限制性，因?yàn)樗恢苯语@示信號(hào)的頻率內(nèi)容。而與時(shí)域表示相反就是頻域，其中一個(gè)時(shí)刻僅對(duì)應(yīng)于一個(gè)電壓值，頻域表示（也稱為頻譜）通過識(shí)別同時(shí)存在的各種頻率分量來傳達(dá)關(guān)于信號(hào)的信息。
正弦波（頂部）和方波（底部）的時(shí)域表示。
正弦波（頂部）和方波（底部）的頻域表示。什么是濾波器？
濾波器是一個(gè)電路，其去除，或“過濾掉”的頻率分量的特定范圍。換句話說，它將信號(hào)的頻譜分離為將要通過的頻率分量和將被阻隔的頻率分量。
如果您對(duì)頻域分析沒有太多經(jīng)驗(yàn)，您可能仍然不確定這些頻率成分是什么以及它們?nèi)绾卧诓荒芡瑫r(shí)具有多個(gè)電壓值的信號(hào)中共存，讓我們看一個(gè)有助于澄清這個(gè)概念的簡(jiǎn)短例子。
假設(shè)我們有一個(gè)由完美的 5 kHz 正弦波組成的音頻信號(hào)。我們知道時(shí)域中的正弦波是什么樣的，在頻域中我們只能看到 5 kHz 的頻率“尖峰”。現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們激活一個(gè) 500 kHz 振蕩器，將高頻噪聲引入音頻信號(hào)。
在示波器上看到的信號(hào)仍然只是一個(gè)電壓序列，每個(gè)時(shí)刻有一個(gè)值，但信號(hào)看起來會(huì)有所不同，因?yàn)樗臅r(shí)域變化現(xiàn)在必須反映 5 kHz 正弦波和高頻噪音波動(dòng)。
然而，在頻域中，正弦波和噪聲是在該一個(gè)信號(hào)中同時(shí)存在的單獨(dú)的頻率分量。正弦波和噪聲占據(jù)了信號(hào)頻域表示的不同部分（如下圖所示），這意味著我們可以通過將信號(hào)引導(dǎo)通過低頻并阻擋高頻的電路來濾除噪聲。
濾波器的類型
濾波器可以放在與濾波器頻率響應(yīng)的一般特征相對(duì)應(yīng)的廣泛類別中。如果濾波器通過低頻并阻止高頻，則稱為低通濾波器；如果它阻擋低頻并通過高頻，它就是一個(gè)高通濾波器。還有帶通濾波器，其僅通過相對(duì)窄的頻率范圍，以及帶阻濾波器，其僅阻擋相對(duì)窄的頻率范圍。
還可以根據(jù)用于實(shí)現(xiàn)電路的組件類型對(duì)濾波器進(jìn)行分類。無源濾波器使用電阻器，電容器和電感器，這些組件不具備提供放大的能力，因此無源濾波器只能維持或減小輸入信號(hào)的幅度。另一方面，有源濾波器既可以濾波信號(hào)又可以應(yīng)用增益，因?yàn)樗ㄓ性丛缇w管或運(yùn)算放大器。
這種有源低通濾波器基于流行的 Sallen-Key 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
本文將探討了無源低通濾波器的分析和設(shè)計(jì)。這些電路在各種系統(tǒng)和應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。
RC 低通濾波器
為了創(chuàng)建無源低通濾波器，我們需要將電阻元件與電抗元件組合在一起。換句話說，我們需要一個(gè)由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻 - 電感（RL）低通拓?fù)湓跒V波能力方面與電阻 - 電容（RC）低通拓?fù)湎喈?dāng)。但實(shí)際上，電阻 - 電容方案更為常見，因此本文的其余部分將重點(diǎn)介紹 RC 低通濾波器。
RC 低通濾波器。
如圖所示，通過將一個(gè)電阻與信號(hào)路徑串聯(lián)，并將一個(gè)電容與負(fù)載并聯(lián)，可以產(chǎn)生 RC 低通響應(yīng)。在圖中，負(fù)載是單個(gè)組件，但在實(shí)際電路中，它可能更復(fù)雜，例如模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換器，放大器或示波器的輸入級(jí)，用于測(cè)量濾波器的響應(yīng)。
如果我們認(rèn)識(shí)到電阻器和電容器形成與頻率相關(guān)的分壓器，我們可以直觀地分析 RC 低通拓?fù)涞臑V波動(dòng)作。
重新繪制 RC 低通濾波器，使其看起來像分壓器。
當(dāng)輸入信號(hào)的頻率低時(shí)，電容器的阻抗相對(duì)于電阻器的阻抗高; 因此，大部分輸入電壓在電容器上（和負(fù)載兩端，與電容器并聯(lián)）下降。當(dāng)輸入頻率較高時(shí)，電容器的阻抗相對(duì)于電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，并且較少的電壓傳輸?shù)截?fù)載。因此，低頻通過并且高頻被阻擋。
RC 低通功能的這種定性解釋是重要的第一步，但是當(dāng)我們需要實(shí)際設(shè)計(jì)電路時(shí)它并不是很有用，因?yàn)樾g(shù)語“高頻”和“低頻”非常模糊。工程師需要?jiǎng)?chuàng)建通過并阻止特定頻率的電路。例如，在上述音頻系統(tǒng)中，我們希望保留 5kHz 信號(hào)并抑制 500kHz 信號(hào)。這意味著我們需要一個(gè)濾波器，從 5 kHz 到 500 kHz 之間的傳遞過渡到阻塞。
截止頻率
濾波器不會(huì)引起顯著衰減的頻率范圍稱為通帶，濾波器確實(shí)導(dǎo)致顯著衰減的頻率范圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如 RC 低通濾波器，總是從通帶逐漸過渡到阻帶。這意味著無法識(shí)別濾波器停止傳遞信號(hào)并開始阻塞信號(hào)的一個(gè)頻率。然而，工程師需要一種方便，簡(jiǎn)潔地總結(jié)濾波器頻率響應(yīng)的方法，這就是截止頻率概念發(fā)揮作用的地方。
當(dāng)您查看 RC 濾波器的頻率響應(yīng)圖時(shí)，您會(huì)注意到術(shù)語“截止頻率”不是很準(zhǔn)確。信號(hào)光譜被“切割”成兩半的圖像，其中一個(gè)被保留而其中一個(gè)被丟棄，不適用，因?yàn)殡S著頻率從截止點(diǎn)下方移動(dòng)到截止值以上，衰減逐漸增加。
RC 低通濾波器的截止頻率實(shí)際上是輸入信號(hào)幅度降低 3dB 的頻率（選擇該值是因?yàn)榉冉档?3dB 對(duì)應(yīng)于功率降低 50％）。因此，截止頻率也稱為 -3 dB 頻率，實(shí)際上該名稱更準(zhǔn)確且信息量更大。術(shù)語帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等于 -3 dB 頻率（如下圖所示）。
該圖表示 RC 低通濾波器的頻率響應(yīng)的一般特性。帶寬等于 -3 dB 頻率。
如上所述，RC 濾波器的低通行為是由電阻器的頻率無關(guān)阻抗與電容器的頻率相關(guān)阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應(yīng)的細(xì)節(jié)，我們需要在數(shù)學(xué)上分析電阻（R）和電容（C）之間的關(guān)系，我們還可以操縱這些值，以設(shè)計(jì)滿足精確規(guī)格的濾波器。RC 低通濾波器的截止頻率（f C）計(jì)算如下：
我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)實(shí)例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見的電容值（例如 10 nF）開始，然后我們將使用該公式來確定所需的電阻值。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，它將保留 5 kHz 音頻波形并抑制 500 kHz 噪聲波形。我們將嘗試 100 kHz 的截止頻率，稍后在文章中我們將更仔細(xì)地分析此濾波器對(duì)兩個(gè)頻率分量的影響。
因此，160Ω電阻與 10 nF 電容相結(jié)合，將為我們提供一個(gè)非常接近所需頻率響應(yīng)的濾波器。
計(jì)算濾波器響應(yīng)
我們可以通過使用典型分壓器計(jì)算的頻率相關(guān)版本來計(jì)算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如下：
RC 濾波器使用等效結(jié)構(gòu)，但是我們有一個(gè)電容器代替 R 2。首先，我們用電容器的電抗（X C）代替 R 2（在分子中）。
接下來，我們需要計(jì)算總阻抗的大小并將其放在分母中。因此，我們有電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決于通過電容器的信號(hào)頻率。因此，我們必須計(jì)算特定頻率的電抗，我們用于此的等式如下：
在上面的設(shè)計(jì)實(shí)例中，R≈160Ω 且 C = 10nF。我們假設(shè) V IN 的幅度是 1 V，這樣我們就可以簡(jiǎn)單地從計(jì)算中去掉 V IN。首先讓我們以正弦波頻率計(jì)算 V OUT 的幅度：
正弦波的幅度基本不變。這很好，因?yàn)槲覀兊哪康氖窃谝种圃胍舻耐瑫r(shí)保持正弦波。這個(gè)結(jié)果并不令人驚訝，因?yàn)槲覀冞x擇的截止頻率（100 kHz）遠(yuǎn)高于正弦波頻率（5 kHz）。
現(xiàn)在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量。
噪聲幅度僅為其原始值的約 20％。
可視化濾波器響應(yīng)
評(píng)估濾波器對(duì)信號(hào)影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應(yīng)的圖。這些圖形通常稱為波德圖，在垂直軸上具有幅度（以分貝為單位），在水平軸上具有頻率; 水平軸通常具有對(duì)數(shù)標(biāo)度，使得 1Hz 和 10Hz 之間的物理距離與 10Hz 和 100Hz 之間，100Hz 和 1kHz 之間的物理距離相同等等。這種配置使我們能夠快速準(zhǔn)確地評(píng)估濾波器在很大頻率范圍內(nèi)的行為。
頻率響應(yīng)圖的一個(gè)例子。
曲線上的每個(gè)點(diǎn)表示如果輸入信號(hào)的幅度為 1 V 且頻率等于水平軸上的相應(yīng)值，則輸出信號(hào)將具有的幅度。例如，當(dāng)輸入頻率為 1 MHz 時(shí)，輸出幅度（假設(shè)輸入幅度為 1 V）將為 0.1 V（因?yàn)?-20 dB 對(duì)應(yīng)于十倍減少因子）。
當(dāng)您花費(fèi)更多時(shí)間使用濾波器電路時(shí)，此頻率響應(yīng)曲線的一般形狀將變得非常熟悉。通帶中的曲線幾乎完全平坦，然后隨著輸入頻率接近截止頻率，它開始下降得更快。最終，衰減的變化率（稱為滾降）穩(wěn)定在 20 dB / decade- 即，輸入頻率的每增加十倍，輸出信號(hào)的幅度降低 20 dB。
評(píng)估低通濾波器性能
如果我們仔細(xì)繪制我們?cè)诒疚那懊嬖O(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)，我們將看到 5 kHz 時(shí)的幅度響應(yīng)基本上是 0 dB（即幾乎為零衰減），500 kHz 時(shí)的幅度響應(yīng)約為 -14 dB（對(duì)應(yīng)于 0.2 的增益）。這些值與我們?cè)谏弦还?jié)中執(zhí)行的計(jì)算結(jié)果一致。
由于 RC 濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過渡，并且因?yàn)樗p永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到無窮大，我們無法設(shè)計(jì)出“完美”的濾波器 - 即對(duì)正弦波沒有影響并完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權(quán)衡。如果我們將截止頻率移近 5 kHz，我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發(fā)送到揚(yáng)聲器的正弦波衰減更多。如果我們將截止頻率移近 500 kHz，我們?cè)谡也l率下的衰減會(huì)減少，但噪聲頻率下的衰減也會(huì)減少。
低通濾波器相移
到目前為止，我們已經(jīng)討論了濾波器修改信號(hào)中各種頻率分量幅度的方式。然而，除了幅度效應(yīng)之外，電抗性電路元件總是引入相移。
相位的概念是指周期內(nèi)特定時(shí)刻的周期信號(hào)的值。因此，當(dāng)我們說電路引起相移時(shí)，我們的意思是它會(huì)在輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間產(chǎn)生不對(duì)準(zhǔn)：輸入和輸出信號(hào)不再在同一時(shí)刻開始和結(jié)束它們的周期。相移值（例如 45°或 90°）表示已創(chuàng)建多少未對(duì)準(zhǔn)。
電路中的每個(gè)電抗元件都會(huì)引入 90°的相移，但這種相移不會(huì)同時(shí)發(fā)生。輸出信號(hào)的相位與輸出信號(hào)的幅度一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。在 RC 低通濾波器中，我們有一個(gè)電抗元件（電容器），因此電路最終會(huì)引入 90°的相移。
與幅度響應(yīng)一樣，通過檢查水平軸表示對(duì)數(shù)頻率的曲線圖，可以最容易地評(píng)估相位響應(yīng)。下面的描述傳達(dá)了一般模式，然后您可以通過檢查繪圖來填寫詳細(xì)信息。
相移最初為 0°。
它逐漸增加，直到它在截止頻率達(dá)到 45°; 在這部分響應(yīng)期間，變化率正在增加。
在截止頻率之后，相移繼續(xù)增加，但變化率正在降低。
隨著相移漸近接近 90°，變化率變得非常小。
實(shí)線是幅度響應(yīng)，虛線是相位響應(yīng)。截止頻率為 100 kHz。注意，截止頻率下的相移為 45°。
二階低通濾波器
到目前為止，我們假設(shè) RC 低通濾波器由一個(gè)電阻器和一個(gè)電容器組成。此配置是一階濾波器。
無源濾波器的“次序”由電路中存在的電抗元件（即電容器或電感器）的數(shù)量決定。高階濾波器具有更多的無功元件，這導(dǎo)致更多的相移和更陡的滾降。第二個(gè)特征是增加濾波器順序的主要?jiǎng)訖C(jī)。
通過向?yàn)V波器添加一個(gè)電抗元件 - 例如，從一階到二階或二階到三階 - 我們將最大滾降增加 20 dB / 十倍。更陡峭的滾降轉(zhuǎn)換為從低衰減到高衰減的更快速轉(zhuǎn)換，并且當(dāng)信號(hào)不具有將期望頻率分量與噪聲分量分離的寬頻帶時(shí)，這可以導(dǎo)致改善的性能。
二階濾波器通常圍繞由電感器和電容器組成的諧振電路構(gòu)建（這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)稱為“RLC”，用于電阻器 - 電感器 - 電容器）。但是，也可以創(chuàng)建二階 RC 濾波器。如下圖所示，我們需要做的就是級(jí)聯(lián)兩個(gè)一階 RC 濾波器。
雖然這種拓?fù)淇隙〞?huì)產(chǎn)生二階響應(yīng)，但它沒有被廣泛使用 - 正如我們將在下一節(jié)中看到的那樣，頻率響應(yīng)通常不如二階有源濾波器或二階 RLC 濾波器。
二階 RC 濾波器的頻率響應(yīng)
我們可以嘗試通過根據(jù)所需的截止頻率設(shè)計(jì)一階濾波器然后將這些一階級(jí)中的兩個(gè)串聯(lián)連接來創(chuàng)建二階 RC 低通濾波器。這確實(shí)導(dǎo)致濾波器具有類似的總頻率響應(yīng)，最大滾降為 40 dB / decade 而不是 20 dB / decade。
但是，如果我們更仔細(xì)地觀察響應(yīng)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn) -3 dB 頻率已經(jīng)降低。二階 RC 濾波器的行為不符合預(yù)期，因?yàn)閮蓚€(gè)階段不是獨(dú)立的 - 我們不能簡(jiǎn)單地將這兩個(gè)階段連接在一起，并將電路分析為一階低通濾波器，然后是相同的一階低通過濾。
此外，即使我們?cè)趦杉?jí)之間插入緩沖器，使得第一 RC 級(jí)和第二 RC 級(jí)可以用作獨(dú)立濾波器，原始截止頻率處的衰減將是 6dB 而不是 3dB。這恰恰是因?yàn)閮蓚€(gè)階段獨(dú)立工作 - 第一個(gè)濾波器在截止頻率處具有 3 dB 的衰減，而第二個(gè)濾波器增加了另外 3 dB 的衰減。
二階 RC 低通濾波器的基本限制是設(shè)計(jì)人員無法通過調(diào)整濾波器的 Q 因子來微調(diào)從通帶到阻帶的轉(zhuǎn)換; 此參數(shù)表示頻率響應(yīng)的阻尼程度。如果級(jí)聯(lián)兩個(gè)相同的 RC 低通濾波器，則整體傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)于二階響應(yīng)，但 Q 因子始終為 0.5。當(dāng) Q = 0.5 時(shí)，濾波器處于過阻尼的邊界，這導(dǎo)致在過渡區(qū)域中“下垂”的頻率響應(yīng)。二階有源濾波器和二階諧振濾波器沒有這個(gè)限制; 設(shè)計(jì)人員可以控制 Q 因子，從而微調(diào)過渡區(qū)域的頻率響應(yīng)。
小結(jié)
所有電信號(hào)都包含所需頻率分量和不需要的頻率分量的混合。不期望的頻率分量通常由噪聲和干擾引起，并且在某些情況下它們將對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生負(fù)面影響。
濾波器是以不同方式對(duì)信號(hào)頻譜的不同部分作出反應(yīng)的電路。低通濾波器旨在傳遞低頻分量并阻止高頻分量。
低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減轉(zhuǎn)變?yōu)轱@著衰減的頻率區(qū)域。
RC 低通濾波器的輸出電壓可以通過將電路視為由（頻率無關(guān)）電阻和（頻率相關(guān)）電抗組成的分壓器來計(jì)算。
幅度（以 dB 為單位，在垂直軸上）與對(duì)數(shù)頻率（以赫茲為單位，在水平軸上）的曲線圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法，你還可以使用相位與對(duì)數(shù)頻率的關(guān)系圖來確定將應(yīng)用于輸入信號(hào)的相移量。
二階濾波器提供更陡峭的滾降; 當(dāng)信號(hào)不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時(shí)，這種二階響應(yīng)是有用的。
你可以通過構(gòu)建兩個(gè)相同的一階 RC 低通濾波器，然后將一個(gè)輸出連接到另一個(gè)的輸入來創(chuàng)建二階 RC 低通濾波器，整體 -3 dB 頻率將低于預(yù)期。
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